QUÉ ES UN LOGARITMO. PARTES. TIPOS.
Los logaritmos suelen ser un apartado algo complicado en nuestra vida, hagámoslo mucho mas fácil. En primer lugar, definamos qué son los logaritmos. Para hablar de logaritmos hemos de tener claros los conceptos y las propiedades de las potencias. Porque un logaritmo lo podemos definir como una potencia, una potencia "disfrazada" con la que podemos calcular una incógnita. Antes de proseguir expliquemos la estructura de una expresión logarítmica:
Tenemos la base del logaritmo (que también será la base de la potencia), el argumento (que es un número positivo que se desea obtener) y por último tenemos el valor buscado (que es el número que elevando la base a él- a este número- hace que se obtenga el argumento, es decir, es el número que hace que se verifique la igualdad, que se cumpla el logaritmo). Ahora, con esas partes bien claras, la expresión general de un logaritmo es:
Así mismo, hay dos tipos fundamentales de logaritmos, los decimales (de base 10, los más usados en nuestros cursos) y los neperianos (In o Ln, cuya base es el número "e" y son mucho más complejos). De esta forma y como se muestra en la tabla adjunta, un ejemplo de logaritmo de base 10 (decimal) sería:
log10100 = 2 y esto nos damos cuenta de que está bien al ver que efectivamente 102 = 100
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Pero los logaritmos no acaban aquí. Tienen una serie de propiedades determinadas como es la del logaritmo de un número igual que la base o la del logaritmo cuyo argumento es 1, la del cambio de base o la del cambio de suma-producto, resta-división en las expresiones logarítmicas. Empecemos por la primera de todas.
1. En cualquier base, sea el número que sea, el logaritmo de 1 es 0. Porque cualquier número que se eleve a 0 es 1 (propiedad de las potencias).
2. El logaritmo de base a y de argumento (o número que se pretende obtener) a -ambos iguales- es siempre 1. Porque un número elevado a 1 da ese mismo número.
3. y 4. (Simultáneas). Podemos considerar que los logaritmos bajan las operaciones un escalón menos de importancia. Es decir, lo que dentro del logaritmo es multiplicación de dos números, si lo separamos en dos es la suma de los logaritmos de dichos números y lo mismo sucede con la división dentro y la resta una vez que se ha separado.
5. Los logaritmos tienen una propiedad muy útil. Consiste en que el logaritmo de una potencia de base positiva es igual al producto del exponente de dicha potencia (que se puede sacar fuera para multiplicar) por el logaritmo de la base (ya sin exponente).
Esto será muy útil para averiguar incógnitas en las ecuaciones logarítmicas. Pues podremos tomar logaritmos a ambos lados de la igualdad. No obstante, hemos de tener en cuenta un detalle acerca del exponente (sobre todo cuando se trata de raíces), Y es que el logaritmo de una raíz es igual al producto del cociente entre el exponente del radicando (lo de dentro) y el índice de la raíz (cuadrada-2-cúbica-3-...) por el logaritmo del radicando una vez que se ha quitado la raíz. Esto se basa en la conversión de las raíces a potencias por medio de la división del exponente del radicando entre el índice de la raíz a modo de fracción.
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| En este caso al ser el exponente del radicando 1, es el número 1 el que va en el numerador de la fracción y el índice aparece como n (cualquier número, en caso de ser una raíz cuadrada, pues sería 2) y la fracción quedaría como (1/2). |
6. Una propiedad esencial es el CAMBIO DE BASE. Cuando nosotros tenemos un logaritmo que no está en base decimal es muy difícil calcular su valor por medio de la calculadora. Para ello se utiliza el cambio de base, mediante el cual si la base decimal la identificamos con "b" y "a" es otra base no decimal y X un argumento determinado, el resultado del valor de ese logaritmo (no calculable de la 1ª forma), será igual al cociente del logaritmo del argumento entre el logaritmo de la base (ambos logaritmos ya en base decimal). Un truco, que a algunos os parecerá una estupidez, que yo tengo para no olvidarme de qué va arriba y qué va abajo es fijarme en el mismo logaritmo, donde escribimos la base abajo y el argumento arriba, pues en la fracción el argumento al numerador y la base al denominador.
NOTA: NUNCA SE PUEDEN TACHAR LOS LOGARITMOS. NO SE "SIMPLIFICAN", SOLO PODEMOS DEJAR DE ESCRIBIRLOS MEDIANTE LA PROPIEDAD INYECTIVA, Y SIEMPRE HAY QUE PONER QUE SE ESTÁ USANDO, PORQUE DE OTRA FORMA, QUITAR LOGARITMOS ES UN DISPARATE. De igual forma, la propiedad inyectiva sirve cuando tenemos logaritmos a ambos lados de la igualdad (con la misma base, obviamente) y solo tenemos logaritmos y no más expresiones (es decir, ningún número que suma o resta a parte) no se puede hacer cuando hay varios logaritmos en un mismo lado de la igualdad. Si se da el caso deberemos condensar la expresión mediante propiedades como la 3 y la 4 (la de la suma-producto o resta-división). Esto es una forma de resolver ecuaciones con logaritmos. Un ejemplo muy bien resuelto sería el siguiente:
Mucha suerte y os agradezco que confiéis en mi en algo tan importante como la construcción de vuestro saber. Nos vemos con otra entrada pronto. Hasta entonces podéis practicar logaritmos aquí: http://www.vitutor.com/al/log/g_e.html , donde viene solucionados también. Podéis dejar comentarios y os resolveré las dudas que pueda. Gracias.
